Este blog contiene material de consulta para los alumnos del Profesorado de Matemática de segundo año correspondiente a la cátedra de Algebra II.
martes, 24 de noviembre de 2009
lunes, 23 de noviembre de 2009
sábado, 21 de noviembre de 2009
CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primero lo es también del segundo y, recíprocamente, cada solución del segundo es también solución del primero.
Conviene destacar que dos sistemas de ecuaciones equivalentes no tienen que tener el mismo número de ecuaciones, aunque si es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.
Criterio 1: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda ecuación por 2 y la tercera por -1.
Criterio 2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.
Criterio 3 (fusión de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al dado.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera multiplicada por 3 y a la tercera ecuación le restamos la primera multiplicada por 2.
Criterio 4: Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial.
Por lo tanto, antes de discutir o resolver un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente suprimir las ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por ejemplo:
Las ecuaciones proporcionales
Las ecuaciones nulas
Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación, que era proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera ecuación multiplicada por 3).
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y el término independiente de la misma son nulos
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la cuarta ecuación, que era la suma de las ecuaciones primera y segunda
Es obvio, además, que si en un sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecuaciones, el sistema obtenido es igual al anterior. El sistema tampoco cambia si en todas las ecuaciones del mismo, permutamos el orden de las incógnitas.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó el orden de la ecuaciones primera y tercera.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó, en todas las ecuaciones, el orden de las incógnitas x e y.
La aplicación de estos criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales, facilitará la obtención de otro sistema equivalente al inicial, que sea más sencillo de resolver.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones lineales, tenemos que dar respuesta a las siguientes preguntas: ¿El sistema tiene solución, es decir, es compatible? En caso afirmativo: ¿Tiene una solución o infinitas? Para responderlas, una de las herramientas que podemos utilizar es la que proporciona el Teorema de Rouché-Fröbenius, cuyo enunciado es el siguiente:
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:
Sean A la matriz del sistema y A* la matriz ampliada del sistema (con los términos independientes).
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A ) sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ).
Es decir: rango (A) = rango (A*).
Si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.
En resumen:
Si rango (A) = rango (A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).
Si rango (A) = rango (A*) <>
Si rango (A) # rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).
Si rango (A) <>
Si el sistema es compatible indeterminado, (rango (A) = rango (A*) = k <>
Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primero lo es también del segundo y, recíprocamente, cada solución del segundo es también solución del primero.
Conviene destacar que dos sistemas de ecuaciones equivalentes no tienen que tener el mismo número de ecuaciones, aunque si es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.
Criterio 1: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda ecuación por 2 y la tercera por -1.
Criterio 2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.
Criterio 3 (fusión de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al dado.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera multiplicada por 3 y a la tercera ecuación le restamos la primera multiplicada por 2.
Criterio 4: Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial.
Por lo tanto, antes de discutir o resolver un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente suprimir las ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por ejemplo:
Las ecuaciones proporcionales
Las ecuaciones nulas
Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación, que era proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera ecuación multiplicada por 3).
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y el término independiente de la misma son nulos
Ejemplo: Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la cuarta ecuación, que era la suma de las ecuaciones primera y segunda
Es obvio, además, que si en un sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecuaciones, el sistema obtenido es igual al anterior. El sistema tampoco cambia si en todas las ecuaciones del mismo, permutamos el orden de las incógnitas.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó el orden de la ecuaciones primera y tercera.
Ejemplo: Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó, en todas las ecuaciones, el orden de las incógnitas x e y.
La aplicación de estos criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales, facilitará la obtención de otro sistema equivalente al inicial, que sea más sencillo de resolver.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones lineales, tenemos que dar respuesta a las siguientes preguntas: ¿El sistema tiene solución, es decir, es compatible? En caso afirmativo: ¿Tiene una solución o infinitas? Para responderlas, una de las herramientas que podemos utilizar es la que proporciona el Teorema de Rouché-Fröbenius, cuyo enunciado es el siguiente:
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:
Sean A la matriz del sistema y A* la matriz ampliada del sistema (con los términos independientes).
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A ) sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ).
Es decir: rango (A) = rango (A*).
Si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.
En resumen:
Si rango (A) = rango (A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).
Si rango (A) = rango (A*) <>
Si rango (A) # rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).
Un caso particular es el de los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. Pues, en este caso, las matrices A y A* son semejantes a efectos del cálculo del rango, dado que la matriz A* es la matriz A a la que se le añade una columna de ceros, que podemos suprimir para calcular el rango. Por lo tanto, siempre se cumple que rango (A) = rango (A*).
Esto quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles.
Se cumple:
Si rango (A) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución, que se conoce con el nombre de solución trivial. Es aquella en la que todas las incógnitas son nulas ( 0 ).
Si rango (A) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución, que se conoce con el nombre de solución trivial. Es aquella en la que todas las incógnitas son nulas ( 0 ).
Si rango (A) <>
Si el sistema es compatible determinado, el valor común de los rangos indica el número de ecuaciones principales, es decir, aquellas que no dependen de las restantes.
Si el sistema es compatible indeterminado, (rango (A) = rango (A*) = k <>
Suscribirse a:
Entradas (Atom)